1.2直角三角形(2)
美国第十七任总统的证法
复习与回顾
∵ (a+b)2 = c2 + 4?ab/2
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为
(a+b)2 c2 +4?ab/2
想一想
∵ c2= 4?ab/2 +(b-a)2
c2 =2ab+b2-2ab+a2
c2 =a2+b2 ∴ a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为
c2 4?ab/2+(b- a)2
想一想
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两直角边对应相等的两个直角三角形全等;
一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等.
想一想
设矩形的对角线AC与BD的交点为O，那么BO是直角△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∵∠ABC=90°，OA=OC ∴AC=2BO 或 OA=OB=OC
引入新知
特殊的直角三角形的性质:
1.在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2.在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
引入新知
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理： 勾股定理逆定理： 引入新知
从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺.另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了. 知道竹竿有多长吗？ 请根据这一问题列出方程.（只列不解）
问题讨论
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
引入新知
用三角尺作角平分线 再过点M作OA的垂线,
如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;
过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,
那么射线OP就是∠AOB的平分线.
请你证明OP平分∠AOB.
●P 已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON. 求证:∠AOP=∠BOP.
先把它转化为一个纯数学问题:
问题讨论
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来.
增加AC=BD; 增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD ;
增加∠CAB=∠DBA ;
你能分别写出它们的证明过程吗?
若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?
O 你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?
你能分别写出它们的证明过程吗?
问题讨论
四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为20，每个小直角三角形两条直角边的和是6，求中间小正方形的面积.
拓展:若有一个矩形长为5,宽为4,请你把它 分割成6块,使得这6块拼成一个正方形.
2 1 4 4 问题讨论
定理1直角三角形的两个锐角互余. 定理2在直角三角形中，两条直角 边的平方和等于斜边的平方. 定理3在直角三角形中，如果 一个 锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半. 定理4直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半 特殊图形
直角三角形的性质
命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300. 是真命题吗? 如果是,请你证明它.
已知:如图,△ABC,∠ACB=900, BC=AB/2.求证:∠A=300.
逆向思维
∵∠ACB=900,CD=BC(已知) ∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) 又∵BC=AB/2(已知), BC=BD/2(作图), ∴AB=BD(等量代换). ∴AB=BD=AD(等式性质）. ∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义) ∴∠B=600(等边三角形意义). ∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
逆向思维
这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.
在△ABC中 ∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知), ∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).
回顾反思
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?
试一试
证明:∵DF=DC/2(中点意义),
A1D=AD=CD(正方形各边都相等)
∴DF=A1D/2(等量代换).
∴∠DA1F=300 (在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半, 那么它所对的锐角等于300).
又∵AD∥EF ∴∠A1DA=∠DA1F=300 (两直线平行,内错角相等).
∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).
● ● 300 试一试
直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
课堂小结
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
分析:要证明△ABC是等腰三角形,
就需要证明AB=AC;
进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;
而△BDF≌△CDE的条件:
从而需要证明∠B=∠C;
BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证.
课后练习
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=BF. 求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.
老师期望:请将证明过程规范化书写出来.
分析:(1)要证明AE=CF,
由此AE=CF可证.
需要证明内错角∠A=∠C;
而由△ABF≌△CDE可得证.
(2)要证明AB∥CD,
由已知条件, AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, DE=BF.可证得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE.
课后练习
课后习题. 祝你成功！