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北师大版八年级下册

第一章:1.1.1 等腰三角形的性质

课件 1726KB 2017-12-10 22:22:28 免费 作者:网络收集

等腰三角形
从数学的观点去思考,你观察到了什么图形?

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等腰三角形 一.基本概念 1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图AB=AC, 就是等腰三角形
2.等腰三角形的基本要素:
相等的两边叫做腰 另一边叫做 底边 两腰的夹角叫做顶角
腰和底边的夹角叫做底角

腰: 底边: 顶角: 底角:
腰: 底边: 顶角: 底角:
AC,BC AB AB,CB AC
做一做1: (1)把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来; (2)把三角形的顶角顶点记为A,底角顶点记为B,C。 (3)把三角形对折,让两腰AB,AC重叠在一起,折痕为AD。
观察后你发现了什么现象?
二.等腰三角形性质的探索

结论: 1、等腰三角形是轴对称图形
2、∠ B =∠ C
3、BD = CD ,AD 为底边上的中线
4、∠ADB = ∠ADC = 90°,AD为底边上的高
5、∠BAD = ∠CAD ,AD为顶角平分线
问题1、结论(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”)
问题2、结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归纳为什么?

(2)要注意是哪三线?
做一做2:画出手中等腰三角形的某一底角平分线、对边(腰)上的中线和高,看是否重合?
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合,简称“三线合一”
(1)“等腰三角形”是三线合一的大前提
归纳: 如图:BF为AC边上的高,BE为ABC的平分线,BG为AC边上的中线

D 如何证明:等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”)
已知:如图△ABC中AB=AC
求证:∠B=∠C 证明:过A作AD⊥BC于D
∟ 在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB=AC(已知) AD=AD(公共边)
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)
思考1:还有其他的证明方法吗?
思考2:你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗?

等腰三角形的性质 1、等腰三角形的两个底角相等 (简称“等边对等角”)
2、等腰三角形的 顶角平分线、底边上的高和底边上的中线 互相重合(简称“三线合一”)
一般的三角形有这种性质吗?
要注意是指顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线重合。

C D B A ①在ΔABC中,∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C()
等腰三角形的性质 等边对等角 (1)∵AD⊥BC, ∴∠____ = ∠____,___= ___
(2)∵AD是中线,∴___⊥___ ,∠____ =∠____
(3)∵AD是角平分线,∴___ ⊥___ ,___ =___
BADCAD BDCD AD BC ADBC BAD CAD BDCD ②在△ABC中, AB=AC时,
等腰三角形底边上的中线和高线、顶角的平分线互相重合。

例题 例1。在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,CD⊥AB 则图中有哪些角相等?
∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°
∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°

例2、已知:在△ABC中,AB = AC,∠B = 80°, 求∠C 和 ∠A的度数。
解: 因为 AB =AC 所以∠B = ∠C = 80°
又 ∠A + ∠ B + ∠C = 180°
所以 ∠A = 180°- 80° - 80°= 20°

例3、如图,在△ABC中,AB = AC,D是BC边上的中点, ∠B = 30°,求 ∠1 和 ∠ADC的度数。
解: 因为等腰三角形的“三线合一” 所以AD是△ABC的顶角平分线、 底边上的高,即
∠1 = ∠ 2 ∠ADC = 90°
因为∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°
所以
1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 ___________________ 2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为 ________
70°,40°或55°,55°
35°,35° 巩固练习: 20或22 20
1、判断下列命题是否正确。
(1)等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。( ) (2)有一个角是60°的等腰三角形,其它两个 内角也为60°。 ()
练一练 2、如图,在△ABC中,已知 AB = AC ,AD为∠BAC 的平分线,且∠2=25°,求∠ADB和∠B的度数。

当堂练习 1、等腰三角形的周长为16,其中一条边的长是6, 求另两边的长。 2、等腰三角形的底角比顶角大15 °,求各内角的度数 4、等腰三角形的底角可以 是直角或钝角吗?为什么?

补充例题:
达标练习二(A 水平)
一、填空题: 1、等腰三角形若两边长为3和7,则其周长为________。 2、如果等腰三角形的一个底角为50°,那么其余两个角为______和______。 3、如果等腰三角形的顶角为80°,那么它的一个底角为________。 二、判断题: 1、等腰三角形的底角都是锐角( ) 2、钝角三角形不可能是等腰三角形( )
√ × 17   50° 80° 50°
达标练习二(B水平)
1、若等腰三角形的一个内角为 40°,则它的另外两个内角为__________________ 2、 若等腰三角形的一个内角为120°,则它的另外两个内角为______
70°,70°或40°,100 °
30°,30° ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°-2×底角
③ 底角=(180°-顶角)÷2
结论:在等腰三角形中,已知一个角,就可以求出另外两个角。
④当已知任意一个内角时,则要分情况讨论

5.已知 如图:在△ABC中,AB=AC,点M在△ABC内,且MB=MC。求证:∠ABM=∠ACM
A B C M
6.已知:如图,在△ABC中,AB = AC,点D在AC上,且BD=BC=AD, (1)图中有几个等腰三角形? (2)求△ABC各角的度数。
A B C D
3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900, ∠CAB的平分线AD交BC于D,AB边上的高线CE交AB于E,交AD于F,求证:CD=CF
1 2 3 F 分析: CD=CF ∠1=∠2 ∠1=∠B+∠BAD
∠2=∠3+∠DAC
∠3=∠B ∠ACB =90°,CE是AC边上高

挑战:已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2:1两部分,已知三角形底边长为5,求腰长?
解:如图,令CD=x,则AD=x,AB=2x
∵底边BC=5 ∴BC+CD=5+x AB+AD=3x
∴(5+x):3x=2:1  或3x:(5+x)=2:1
x x 2x 5
例4.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A的度数.
解:设∠A=x ,∠EBD=y,∠C=z ∵AB=AC∴∠ABC=∠C=z ∵BD=BC∴∠C=∠BDC=z ∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=90° ∵AD=DE∴∠A=∠AED=x 又∵∠BDC=∠A+∠ABD, ∠AED=∠EBD+∠EDB
(三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠A+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和为180°) ∴解得x=45° 即:∠A=45°

挑战5:如图,已知CE、CF分别平分∠ACB和它的外角,EF∥BC,EF交AC于D,你能说明DE=DF的理由吗?

小结: 1、等腰三角形的性质:
等边对等角 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和底边上的高互相重合(三线合一)
3、“三线合一”性质在实际应用中,只要推出 其中一个 结论成立,其它两个结论一下成立, 所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。
本节课你学到了什么?

再 见!