第一章
直角三角形的边角关系
第一节 从梯子的倾斜程度谈起(二)
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
正切 直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
本领大不大 悟心来当家
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.此时,其它边之间的比值也确定吗?
结论: 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.
∠A的对边
正弦与余弦 在Rt△ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
在Rt△ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即
锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.
A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 斜边
生活问题数学化 结论:梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关: sinA越大,梯子越陡;cosA越小,梯子越陡.
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?
行家看“门道” 例2 如图:在Rt△ABC中,∠B=900,AC=200,sinA=0.6. 求:BC的长.
老师期望: 请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和tanC的值.你敢应战吗?
200 A C B ┌ 解:在Rt△ABC中,
知识的内在联系 求:AB,sinB.
老师期望: 注意到这里cosA=sinB,其中有没有什么内在的关系?
真知在实践中诞生 1.如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB.
求:△ABC的周长.
老师提示:过点A作AD垂直于BC于D.
C
八仙过海,尽显才能 3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
4.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则sinAsinB; (2)若sinA=sinB,则∠A ∠B.
┌
八仙过海,尽显才能 5.如图, ∠C=90°,CD⊥AB.
6.在上图中,若BD=6,CD=12.求cosA的值.
老师提示: 模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.
八仙过海,尽显才能 7.如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.
8.在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=3,AB=6, 求sinA和cosB
老师提示: 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
八仙过海,尽显才能 9.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10, 求sinB,cosB.
老师提示: 过点A作AD垂直于BC,垂足为D. 求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.
相信自己 10.在梯形ABCD中AD//BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18 求:sinB,cosB,tanB.
老师提示: 梯形的高是梯形的常用辅助线,借助它可以转化为直角三角形.
回味无穷 定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA各是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦、余弦和正切,记号中习惯省去“∠”； 3.sinA,cosA,tanA分别是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
回味无穷 回顾,反思,深化 1.锐角三角函数定义:
请思考:在Rt△ABC中, sinA和cosB有什么关系?
1. 如图,分别求∠α,∠β的正弦、余弦和正切.
2.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
3.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5. 求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.
α β 9 ┐ x 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA和cosB有什么关系?
知识的升华