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人教版七年级上册

第20课 解一元一次方程 合并同类项与移项

课件 2321912KB 2017-12-9 18:45:52 免费 作者:网络收集

请欣赏一首诗: 太阳下山晚霞红,我把鸭子赶回笼; 一半在外闹哄哄,一半的一半进笼中; 剩下十五围着我,共有多少请算清.
你能列出方程来解决这个问题吗?
新课导入
希腊数学家丢番图(公元3~4世纪)的墓碑上记载着: “他的生命的六分之一是幸福童年; 再活了他生命的十二分之一,两颊长起了细细的胡须; 他结了婚,又度过了一生的七分之一; 再过五年,他有了儿子,感到很幸福; 可是儿子只活了他父亲年龄的一半; 儿子死后,他在极悲痛中度过了四年,也与世长辞了.”
根据以上信息,你知道丢番图活了多少岁吗?

3.2 解一元一次方程(一)    ——合并同类项与移项

知识与能力 1. 能根据实际问题,建立数学模型——一元一次方程,来解决; 2.能在解方程中,正确合并同类项.
教学目标
过程与方法  1.由实际问题引入,进一步熟悉列方程解应用题的分析步骤;  2.渗透运用数学问题来解决实际问题的建模思想.
教学目标
情感态度与价值观   1.通过引导发现,培养独立思考问题的能力;   2.通过学习,更加关注生活,增强用数学的意识,从而激发学习数学的热情.
教学目标
重点   未知数,列方程,用合并及等式性质解方程. 难点   1.建立方程时寻找“相等关系”;   2.合并时“x”或“-x”前面的系数为1或“-1”.
教学重难点
约公元825年,中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书, 阿拉伯文书名是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah,直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr 意为“还原”,这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项;muqabalah 意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项.一般认为拉丁文中代数学一词algebra是由al-jabr演变而来.
阿尔—花拉子米 (约780——约850)

(1) x-2x+4x
(2)5y+y-2y
(3)2a-1.5a-0.5a
=(1-2+4)x =3x =(5+1 -2)y
=4y =(2-1.5-0.5)a
合并同类项 =0
实际 问题 一元一次 方程 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是解决实际问题的一种数学方法.
设未知数 列方程
怎样解方程? 问题1:在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载者一些数学问题,其中一个问题翻译过来是:“啊哈,它的全部,它的 其和等于16”.你能求出问题中的“它”?
解:设问题中的它为x,则:它的 为 . 根据问题中的相等关系:它的全部+它的 =16.可列方程

合并同类项 系数化为1 分析:解方程,就是把方程变形,变为 x = a(a为常数)的形式.
答:问题中的它是14.

解方程中“合并”起了什么作用?
解方程中的“合并”是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一项.它使方程变得简单,更接近x = a的形式.

解:设计划生产Ⅰ型电视机x台,则计划生产Ⅱ型电视机15x台,计划生产Ⅲ型电视机20x台,列方程
某电视机厂今年计划生产电视机21600台,其中Ⅰ型,Ⅱ型,Ⅲ型三种电视机的数量之比为1:15:20,这三种电视机计划各生产多少台?
x+15x+20x=21 600
练一练
答: Ⅰ型电视机计划生产600台,Ⅱ型电视机计划生产9000台,Ⅲ型电视机计划生产12000台.
合并同类项,得 36x=21600 系数化成1,得 x=600 所以 计划生产Ⅱ型电视机600×15=9000(台), 计划生产Ⅲ型电视机600×20=12000(台).

解:合并同类项,得 2x=-10 系数化为1,得 x=-5.
例1:解方程 (1)5x-3x=-10

解:合并同类项,得 2x=7
系数化为1,得
解:合并同类项,得 4x=-9 系数化为1,得
(3)6x-1.5x-0.5x=-9

(4)3x+5x-6x=-3×4+20
解:合并同类项,得 2x=8. 系数化为1,得 x=4.

(1)-2x-0.5x=-10; (2)3x-4x=-15+10; (4)-4x+5x-3x=3.5×3-6
x=4 x=5 练一练 解下列方程
1.简单方程解法步骤
移项; 合并同类项; 系数化为1.
归纳
问题2:有一批学生去游玩,若每辆车坐43人,则还有35人没座;若每辆车坐45 人,则还有15人没座,求有多少辆车,多少学生?
解:设有x辆车. 每辆车坐43人,共有43x人,加上没座的35人,共有学生43x+35. 若每辆车坐45人,共有45x人,加上没座的15人,共有学生45x+15. 找相等关系:学生的总人数是一个定值,表示它的两个式子应相等,所以列方程 43x+35= 45x+15
怎样解方程?
43x+35= 45x+15
43x-45x=15-35
43x+35-35-45x=45x+15-35-45x
等式性质1 把等式一边的某一项变号后移到另一边.
你发现了什么?
移项 合并同类项 系数化成1 X=15 答:有10辆车,660个学生.
所以学生总人数为:43×15+35=660(人).

移项   把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
知识要点
通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边,使方程更接近于x=a的形式.
  以上解方程中“移项”起了什么作用?

下面的移项对不对?如果不对,请改正?
(1)从5+2x=10,得2x=10+5
(2)从3x=2x-5,得3x+2x=5
(3) 从-2x+5=1-3x,得-2x+3x=1+5
2x=10-5 3x-2x=-5 -2x+3x=1-5
练一练
下列移项正确的是(  ) A.由2+x=8,得到x=8+2 B.由5x=-8+x,得到5x+x= -8 C.由4x=2x+1,得到4x-2x=1 D.由5x-3=0,得到5x=-3
C 练一练
例2:解下列方程. 解:移项,得 6x-3x=8+7 合并同类项,得 3x=15. 系数化为1,得 x=5. 移项时应注意改变项的符号

解:移项,得 合并同类项,得 系数化成1,得
解下列方程 . (1)10x-4=6
(2)5x-7=3x - 5
x=1 x=1 练一练
解方程的步骤及依据:  1.移项(等式的性质1)    合并(分配律)    系数化为1(等式的性质2) 2.“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”  3.表示同一量的两个不同式子相等.
归纳
现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗?
“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”.

下面方程的解法对吗?如果不对,应怎样改正?
解:移项,得  合并同类项,得  系数化为1,得
1.移项时,通常把含有未知数的项移到等号的左边,把常数项移到等号的右边; 2.移项要改变符号.
注意
例3:有一列数,按一定的规律成-1,2,-4,8,-16,32, -64,···,其中某三个相邻数的和为1 536,这三个数各是多少?
解:设这三个相邻数中的第1个数为x,   那么第2个数就是-2x,   第3个数就是-2×(-2x)=4x.   根据这三个数的和是1536,得   x-2x+4x=1 536.

合并同类项,得 3x=1 536. 系数化为1,得 x=512. 所以 -2x=-1 024, 4x=2 048. 答:这三个数是512、-1 024、2 048.

1.有一列数,按一定规律排列成1,-5,25,-125···若其中某三个相邻数的和是13 125,这三个数各是多少 ?
练一练 解:设这三个相邻数中的第1个数为x,   那么第2个数就是-5x,   第3个数就是-5×(-5x)=25x.   根据这三个数的和是13 125,得   x-5x+25x=13 125.

合并同类项,得 19x=13 125. 系数化为1,得 x=625. 所以 -5x= -3 125, 25x= 15 625. 答:这三个数是625、 -3 125 、 15 625.

2.三个连续的奇数的和是27,求这三个奇数.
解:设这三个相奇数中的第2个数为x,   那么第1个数就是x-2,   第3个数就是 x+2.   根据这三个数的和是27,得   (x-2)+ x+ x+2=27   解,得  x=9   所以第第1个数就是x-2=9-2=7;   第3个数就是 x+2=9+2=11. 答:这3个奇数是7,9,11.

解:设这三个相奇数中的第2个数为x,   那么第1个数就是x-2,   第3个数就是 x+2.   根据这三个数的和是29,得   (x-2)+ x+ x+2=29   解,得  x=   因为 不是奇数,所以不存在这样的三个奇数.
3.如果三个连续奇数的和是29,你能求出这三个奇数吗?

4.在某月内,李老师要参加三天的学习培训,现在知道这三天的日期的数字之和是39.    (1)培训时间是连续的三天,你知道这几天分别是当月的哪几号吗?    (2)若培训时间是连续三周的周六,那这几天又分是当月的哪几号?
(1)12、13、14
(2)6、13、20

观察下列一组数:3,-6,12,-24,48,-96,。。。,其中某三个相邻的数的和是576,这三个数各式多少?
192,-348,768
有一列数按下列规律排列为:1,-3,5,-7,9。。。如果其中是哪个相邻数之和为-201,求这三个数。
-199, 201, -203

某地上网有两种方式,用户可以任选其一 (A)计时制:2.8元/时; (B)包月制:60元/月 此外,每种上网方式都加收通信费1.2元/时 (1)某用户上网20小时,选用哪种上网方式比较合算? (2)某用户有120元用于上网(一个月),选用哪种上网方式比较合算? (3)请你为用户设计一个方案,使用户合理地选择上网方式?

某通信公司开展两种业务:业务A基本月租费50元,每通话一分钟付话费0.4元;业务B是无基本月租费,每通话一分钟付话费0.6元,若一个月内通话x分钟。 (1)用式子表示两种方式的费用各是多少? (2)对于某个通话时间,会出现两种方式的费用一样多嘛? (3)若某人一个月通话300分钟,选择哪一种业务合算些?

某校七年级五班班主任带领学生去杭州旅游,甲旅行社说:“假如班主任买全票,则其余学生可享受半价优惠”;乙旅行社说:“包括班主任在内全部按全票价的6折优惠”,若全票价为每张240元 (1)问学生多少人时,甲、乙两家旅行社收费一样多? (2)就学生数讨论选哪一个旅行社更合算?

例4:根据下面的两种移动电话计费方式表,考虑下列问题.
(1)一个月本地通话时间150分和300分,计算按两种移动电话计费方式各需要交费多少元? (2)会出现两种移动电话计费方式收费一样吗?

解:(1)
(2)设累计通话t分,则按方式一要收费(50+0.3t)元,按方式二要收费(10+0.4t).如果两种移动电话计费方式收费一样, 则 50+0.3t= 10+0.4t 移项,得 0.3t-0.4t=10-50 合并同类项,得 -0.1t=-40.   系数化为1,得 t=400.   由上可知,如果一个月内通话400分,那么两种计费方式的收费一样.

(1)8人分别乘两辆小汽车赶往火车站,其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障,此时离火车停止检票时间还有42分,这时唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车,连司机在内限乘5人,这辆小汽车的平均速度为60千米/时,这8人能赶上火车吗?(设走行速度为5千米/时).
练一练
第一种情况:  小汽车分二批送这8人,若第二批人在原地不动,那么小汽车来回要走15×3=45千米,所需 时间为=45分>42分,因此,单靠汽车来回接送无法使8人都赶上火车. 第二种情况:   若在汽车送第一批人的同时,其他人先步行,可以节省时间,汽车送完第一批人后,用了x
解:此题可分类讨论:

小时与第二批人相遇,再用x小时送到火车站,则列方程得,
解得: 所用时间为: 时, 因为40.4<42,因此,这时8人能赶上火车.

第三种情况: 这辆汽车行驶到途中一定位置时放下第一批人,然后掉头再接另一批人,使得两批人同时到达火车站,那么这时所用时间更少.

(2)一位老商人在临死前,把他的儿子叫到床前,他要把他一生积蓄的金币分给儿子们,让大儿子拿出一枚金币后,再把盘里的 分给他;然后让二儿子拿二枚金币后,再分盘里的 给他;让三儿子拿三枚金币后,再分盘里的 给他···照这样分法分下去,让最后一个儿子拿完金币后,金币恰好分完,而且每个儿子得到的金币数相等,请你算一算,老商人一生攒了多少枚金币?他共有几个儿子?

分析:设老商人共积攒x枚金币,大儿子拿出一枚后,盘里还剩(x-1)枚,大儿子又拿了盘中的,因此大儿子共得金币 枚.此时盘中剩 枚,被二儿子拿走二枚后,盘中还剩 枚.二儿子又分得此时盘中的 ,因此二儿子共得到金币枚 .根据所有儿子得到的金币都相等,可列出方程.

  解:设老商人一生积攒了x枚金币, 列方程
去括号,得 移项,得 合并同类项,得 系数化为1,得 x=36.
即老商人共有36枚金币,大儿子分得 因为所有儿子分得的金币数都相等, 因此老商人有
  答:老商人一生积攒了36枚金币,他共有6个儿子.

用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程:
实际问题 数学问题 (一元一次方程)
实际问题 的答案 数学问题的解 (x=a)
检验 列方程 解方程 归纳
1.简单方程解法步骤
移项; 合并同类项; 系数化为1.
课堂小结
2.用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程:
实际问题 数学问题 (一元一次方程)
实际问题 的答案 数学问题的解 (x=a)
检验 列方程 解方程
1. 若方程x+9=8的解也是方程ax+3=7解,则a=_________. 2.若x=4是方程 的解,则 的值为__________.
-4 10 随堂练习
3.解下列方程. x=1 x=4 x=-12 x=1
4.已知:y1 = 2x+1, y2 = 4 -x.当x取何值时, y1 = y2 ?
解:由题意,得 2x+1= 4 -x 移项,得 2x+x=4-1 合并同类项,得 3x=3 系数化为1,得 x=1. 所以当x=1时, y1 = y2 .

5. 有一人问老师,他所教的班级有多少学生,老师说:“一半学生在学数学,四分之一的学生在学音乐,七分之一的学生在学外语,还剩不足六位学生正在操场踢足球.”你知道这个班有多少学生吗?
解:设这个班有x个学生,   列方程
移项,得
合并同类项,得 系数化为1,得 x=56. 答:这个班有56个学生.

  6. 小明和小刚每天早晨坚持跑步,小明每秒跑4米,小刚每秒跑6米. (1)若他们站在百米跑道的两端同时相向起跑,那么几秒后相遇? (2)若小明站在百米起点处,小刚站在他前面10米处,两人同时同向起跑,几秒后小明追上小刚?
解:(1)设x秒后相遇.

可得方程: 6x+4x=100 合并同类项,得 10x=100 系数化为1,得 x=10. 答:两人10秒后相遇.
(2)设小明x秒后追上小刚.

可得方程: 4x+10=6x 移项,得 4x-6x=-10 合并同类项,得 -2x=-10 系数化为1,得 x=5. 答:小明5秒后追上小刚.

习题答案