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人教版八年级上册

13.4:最短路径问题

课件 1700KB 2017-12-9 20:23:39 免费 作者:网络收集

第十三章 轴对称 13.4 课题学习 最短路径问题学.科.网.

如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理由是什么? 学.科.网.zxxk
两点之间,线段最短
① ② ③
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。
P 连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。

思考??? 为什么这样做就能得到最短距离呢? 学.科.网.zxxk.
根据:两点之间线段最短.

如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
P 所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
B/ 点P的位置即为所求.
作法:① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知:如图,A、B在直线L的同一侧,在L上求一点,使得PA+PB最小.
为什么这样做就能得到最短距离呢?
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
三角形任意两边之和大于第三边

问题:如图所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短.
练习 请你自己动手 试一试!

只有A、C、B在一直线上时,才能使AC+BC最小.作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后连接A′B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.

2. 如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同侧,为了方便灌溉作物,要在河边建一个抽水站,将河水送到A、B两地,问该站建在河边什么地方,可使所修的渠道最短,试在图中确定该点。 作法:作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D,则点D为建抽水站的位置。 证明:在直线 a 上另外任取一点E,连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a上,∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE中,AE+EC>AC, 即 AE+EC>AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处,

1. 如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
A· · B
作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E, 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。 证明:由平移的性质,得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为: AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中,∵AC+CE>AE, ∴AC+CE+MN>AE+MN, 即AC+CD+DB >AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。
A· B M N E C D
4. 如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线。 作法:1.作点C关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H, 则CG+GH+DH最短
F A O B D · · C E G H
A/ B/ P Q
证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接… ∵点F,点C关于直线OA对称,点G.M在OA上,∴GF=GC,FM=CM, 同理HD=HE,ND=NE, ∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE, CG+GH+HD=FG+GH+HE, 在四边形EFGH中, ∵FG+GH+HE>FE(两点之间,线段最短), 即CG+GH+HD>CM+MN+ND
即CM+MN+ND最短

(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.
B C D E 分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小 ?

(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.
分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;连接A′,A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求

3.某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果,然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?   作法:1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N, 则CM+MN+CN最短
A O B C. . E D M N G H
 证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接… ∵点D,点C关于直线OA对称, 点G.H在OA上,∴DG=CG, DM=CM, 同理NC=NE,HC=HE, ∴CM+CN+MN=DM+EN+MN=DE, CG+GH+HC=DG+GH+HE, ∵DG+GH+HE>DE(两点之间,线段最短), 即CG+GH+HC>CM+CN+MN
即CM+CN+MN最短

再见!