26.1 二次函数(2)
二次函数y=ax2的图象和性质
复习 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数: 下列哪些函数是二次函数？哪些是反比例函数，一次函数？ (1) y=3x-l (2) y=2x2＋7 (3) y= (4) y=x-2 (5) y=(x+3)2-x2 (6) y=3(x-1)2+1
一次函数的图象是一条_____，反比例函数的图象是________.
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
直线 双曲线 列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
二次函数的图像 画函数y=x2的图像
解: (1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.
y=x2
二次函数的图像 请画函数y=－x2的图像
解:(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图像.
y=－x2
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c.
二次函数的图像 还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
y=x2 y=－x2
例题与练习 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图像
解:(1) 列表 (2) 描点 (3) 连线 8 … 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 4.5 函数y= x2,y=2x2的图像与函数y=x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?
观察 不同点: 共同点：开口向上; 除顶点外,图像都在x轴上方
开口大小不同;
例题与练习 在同一直角坐标系中画出函数y=－ x2和y=－2x2的图像
解:(1)列表 (2)描点 (3)连线 函数y=- x2,y=-2x2的图像与函数y=－x2(图中虚线图形)的图像相比,有什么共同点和不同点?
观察 共同点: 不同点: 开口向下; 除顶点外,图像都在x轴下方
开口大小不同;
归纳 一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小
当a<0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大;
在同一坐标系内,抛物线y=ax2与抛物线y=－ax2是关于x轴对称的.
a>0 a<0
当a>0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 减小。
当a>0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 增大。
当a<0时，在对称轴的 左侧，y随着x的增大而 增大。
当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
例题与练习 1、函数y=2x2的图象的开口,对称轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口, 对称轴 ,顶点是;
向上 向下 y轴 y轴 (0,0) (0,0)
小结 1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
|a|越大,抛物线的开口越小;
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
增大 (0,0) 最低点 (0,0) 最高点 y轴 y轴 向上 向下 增大 减小 增大 增大 增大 减小 增大
思考题 已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8） （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。