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人教版九年级下册

26.3 实际问题与二次函数

课件 916KB 2017-12-9 14:24:12 免费 作者:网络收集
1. 某一物体的质量为m,它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是:
(m为定值) 2. 导线的电阻为R,当导线中有电流通过时,单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是:
(R为定值) 3. g表示重力加速度,当物体自由下落时,下落的高度h与下落时间t之间的关系是:
(g为定值) 二次函数的抛物线在生产、生活中广泛应用。

【知识与能力】 【过程与方法】 生活实际问题转化为数学问题,体验二次函数在生活中的应用。
通过实际问题,体验数学在生活实际中的广泛应用性,提高数学思维能力。 在转化、建模中,学会合作、交流。 通过图形间的关系,进一步体会函数,体验运动变化的思想

通过对商品涨价与降价问题的分析,感受数学在生活中的应用,激发学习热情。 在转化、建模中,体验解决问题的方法,培养学生的合作交流意识和探索精神。 正确面对困难,迎接挑战的坚强品质。
【情感态度与价值观】

利用二次函数解决商品利润问题。 用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题。 建立二次函数数学模型,函数的最值。 通过图形之间的关系列出函数解析式。

喷泉与二次函数 一公园要建造圆形喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m. 如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外?

根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.
解:建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25)
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理,点D的坐标为(-2.5,0) .
设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=- (x-1)2+2.25.
● C(2.5,0)
● D(-2.5,0)

跳水与抛物线 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面32/3米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为18/5米,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由.

平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形状可以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5米,求学生丁的身高?
跳绳与抛物线
最大利润问题 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?
设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 :件;
销售额可表示为: 元;
所获利润可表示为: 元;
当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是元.

某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大? (1)题目中有几种调整价格的方法? (2)题目涉及到哪些变量?哪一个量是自变量?哪些量随之发生了变化?
调整价格包括涨价和降价两种情况

涨价: (1)设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖_____件,实际卖出___________件,销额为_______________元,买进商品需付________________元因此,所得利润为_____________________________元
10x (300-10x) (60+x)(300-10x)
40(300-10x)
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
即 (0≤x≤30)
(0≤x≤30) 所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元

解:设降价x元时利润最大,则每星期可多卖18x件,实际卖出(300+18x)件,销售额为(60-x)(300+18x)元,买进商品需付40(300-10x)元,因此,得利润
答:定价为 元时,利润最大,最大利润为6050元
(0≤x≤20)
最大面积问题 在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上. (1)如果设矩形的一边AD=xcm,那么AB边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
bcm xcm
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
最多光线问题
(1)先分析问题中的数量关系、变量和常量,列出函数关系式. (2)研究自变量的取值范围. (3)研究所得的函数. (4)检验 x的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等,并求相关的值. (5)解决提出的实际问题.
解决关于函数实际问题的一般步骤
(配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值)

1. 某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m,拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮廓线呢?

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。
(1)求出日销售量 y(件)与销售价 x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多少元?
2. 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下:

(2)设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为 w 元。则
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元。
则 解得:k=-1,b=40。
(1)设此一次函数解析式为 。
所以一次函数解析为。

设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
3. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额?

4. 某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天180元时,房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆利润最大?
解:设每个房间每天增加x元,宾馆的利润为y元
y =(50-x/10)(180+x)-20(50-x/10)
y =-1/10x2+34x+8000

5. 某个商店的老板,他最近进了价格为30元的书包。起初以40元每个售出,平均每个月能售出200个。后来,根据市场调查发现:这种书包的售价每上涨1元,每个月就少卖出10个。现在请你帮帮他,如何定价才使他的利润最大?

解:以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。这时,屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为: (1) 因为y轴垂直平分AB,并交AB于点C,所以 ,又CO=0.8m,所以点B的坐标为(2,-0.8)。 因为点B在抛物线上,将它的坐标代入(1),得 所以a=-0.2 因此,所求函数关系式是 。

6. 某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,市场调查发现:若每箱以50 元销售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元,平均每天多销售25箱 ; 价格每箱升高1元,平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润最大? 若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。如何定价才能使得利润最大?(为了便于计算,要求每箱的价格为整数)

7. 有一经销商,按市场价收购了一种活蟹1000千克,放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此后每千克活蟹的市场价,每天可上升1元,但是,放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元(放养期间蟹的重量不变). ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元,写出P关于x的函数关系式. ⑵如果放养x天将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式。 ⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润,(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?

(1)有最高点;有最低点 . 65元. 600m. AB 的中点处. AB 的中点处. 每天350元.