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人教版九年级下册

28.2 解直角三角形

课件 2083KB 2017-12-9 18:43:22 免费 作者:网络收集

锐角三角函数 sinA 、cosA、tanA 、cotA分别等于直角三角形中哪两条边的比?
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珠穆朗玛峰,海拔8844.43米,为世界第一高峰,位于喜马拉雅山中段之中尼边界上、西藏日喀则地区定日县正南方.峰顶终年积雪,一派圣洁景象.珠峰地区拥有4座8000米以上、38座7000米以上的山峰,被誉为地球第三级.

珠穆朗玛峰那么高,它的高度是怎样测出来的?

测量珠峰高程,首先确定珠峰海拔高程起算点.我国是以青岛验潮站的黄海海水面为海拔零起始点(水准原点),因为测绘人员已取得西藏拉孜县相对青岛水准原点的精确高程,测量队只需要从拉孜起测.前半程仍采用传统而精确的水准测量法,每隔几十米竖立一个标杆,通过水准仪测出高差,一站一站地将高差累加起来就可得出准确数字.这样一直传递到珠峰脚下6个峰顶交会测量点.

当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运用“勾股定理”的基本原理,推算出峰顶相对于这几个点的高程差. 最后,通过进行重力、大气等多方面的改正计算,确定珠峰高程.GPS测量,则是将GPS测量设备带至峰顶直接获取数据,然后通过一系列的复杂计算取得珠峰精确高程.

【知识与能力】 1.掌握直角三角形的边角关系; 2.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步分析问题、解决问题的能力. 【情感态度与价值观】 通过本节的学习,渗透数形结合的数学思想,培养良好的学习习惯.

重点: 直角三角形的解法. 难点: 三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?

5个 6个元素 三边 两个锐角 一个直角 (已知)
△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=3,∠A=30°,求∠B,a,c.
A B C a b c 3 30° ? ? ? ┓
(1)三边之间的关系
a2+b2=c2(勾股定理);
(2)锐角之间的关系
∠ A+ ∠ B= 90o
(3)边角之间的关系
解直角三角形的依据
在下图的Rt△ABC中, (1)根据∠A=60°,斜边AB=6,试求出这个直角三角形的其他元素.
∠B=30°; AC=3, BC=

(2)根据AC=3,斜边AB=6,试求出这个直角三角形的其他元素?
∠B=30°; ∠A=60, BC=

在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果再知道其中的两个元素(至少有一个是边),就可求出其余的元素.
结论
解直角三角形 ???在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形.

【例1】在△ABC中,∠C=90°,c=8,∠B=40°,解这个直角三角形(精确到0.1) .
解:∠A=90°- 40°=50°.

??? 【例2 】在△ABC中,∠C=90°,a=5, ,求∠A、∠B、c边.
解: ∴∠A≈56.1°, ∴∠B=90°-56.1°=32.9°.

?? (1)在△ABC中,∠C=90°,b=30,c=40,解直角三角形.
∠A=41.4° ∠B=48.6°
小练习
???? (2) △ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边, ???? Ⅰ.a=6,sinA= ,求b,c,tanA; ???? Ⅱ.a+c=12,b=8,求a,c,sinB.
Ⅰ. b= c=15
Ⅱ.
(3) 在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且c=287.4,∠B=42°6′,解这个三角形.
a≈213.3. b≈192.7. ∠A=47°54′.

已知 两边 两直角边 一斜边,一直角边
一边一角 一锐角,一直角边 一锐角,一斜边
归纳
已知斜边求直边,正弦余弦很方便; 已知直边求直边,正切余切理当然; 已知两边求一角,函数关系要选好; 已知两边求一边,勾股定理最方便; 已知锐角求锐角,互余关系要记好; 已知直边求斜边,用除还需正余弦; 计算方法要选择,能用乘法不用除.
优选关系式
仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时: 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.

方向角 如图:点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°(西南方向)

【例3 】 如图, 在上海黄埔江东岸,矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”,某校学生在黄埔江西岸B处,测得塔尖D的仰角为45°,后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°,设塔底C与A、B在同一直线上,试求该塔的高度.

解: 设塔高CD=x m 在Rt△BCD中, ∵∠DNC=45° ∴BC=x ∴CA=400+x 在Rt△ACD中, ∵∠DAC=30° ∴AC=xtan60°=400+x
∴塔高CD 为 m.

(1)如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1500米,从飞机上看地平面控制点B的俯角a=25°,求飞机A到控制点B距离(精确到1米).
小练习
解:在Rt△ABC中
答:飞机A到控制点B距离为3000.0米.

(2)如图,某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=82°.已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为45m,当时水位为+2m,求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到0.01m).
小练习
解: 所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m.

【例4】如图,海岛A四周45海里周围内为暗礁区,一艘货轮由东向西航行,在B处见岛A在北偏西60?,航行18海里到C,见岛A在北偏西45?,货轮继续向西航行,有无触礁的危险?
A B D C P P1 45? 60?
答:货轮有触礁危险.
∵ ∠PBA= 60?, ∠P1CA= 30?,
∴ ∠ABC=30?, ∠ACD= 30?,
在Rt△ADC中, CD=AD?cot∠ACD= x?cot60?,
在Rt△ADB中, BD=AD?cot45?= x?cot45?,
∵ BD-CD=BC,BC=18
∴ x?cot45?- x?cot60?=18
∴ x= ≈9×(3+1.732)=42.588 < 45
解:过点A作AD⊥BC于D,设AD=x

(1)如图,一艘渔船正以40海里/小时的速度由西向东赶鱼群,在A处看某小岛C在船的北偏东60°,半个小时后,渔船行止B处,此时看见小岛C在船的北偏东30°.已知以小岛C为中心,周围15海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区的可能?
小练习
解:设BD=x 海里
由题意得AB=20,
∴AD=20+x 在Rt△ACD和Rt△BCD中,
CD=ADtan30°=BDtan60°
∴x=10 所以这艘渔船继续向东追赶鱼群,不会进入危险区.
>15
(2)正午8点整,一渔轮在小岛O的北偏东30°方向,距离等于20海里的A处,正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行.那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间?(精确到1分).
10时44分 小练习
(3)如图,海岛A的周围15海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得海岛A位于北偏东60°,航行16海里到达点C处,又测得海岛A位于北偏东30°,如果鱼船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险?
有触礁的危险 小练习
【例5】燕尾槽的横断面是等腰梯形,下图是一燕尾槽的横断面,其中燕尾角B是45°,外口宽AD是180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(精确到1mm).

解:等腰梯形中,AD=180mm,AE=70mm,∠B=45°AE⊥BC
∵ ∴ 又∵BE=EC ∴ 答:它的里口宽BC长为320mm.

遇到有关等腰梯形的问题,应考虑如何添加 辅助线,将其转化为直角三角形和矩形的组合图 形,从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直 角三角形的问题.

如图,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°角,求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米).
AC约为5.77米 AD约为2.89米
小练习
(2)如图,在等腰梯形ABCD中,DC∥AB, DE⊥AB于E,AB=10,DE=6, cosA=,求CD的长.
CD的长为1 小练习
坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
坡度、坡角
【例6 】(1)如图,温州某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为30cm,深为30cm.为方便残废人士,现拟将台阶改为斜坡,设台阶的起始点为A,斜坡的起始点为C,现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°,求AC的长度. (sin12°≈ 0.2079)

解: 在Rt△BDC中,∠C=12°
∴ AC=282-60=222(cm)
由题意得,BD=60

(2)如图,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).

上述问题可以归结为: 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5.5,∠A=24°,求AB.
解:在Rt△ABC中,
∴ 答:斜坡上相邻两树的坡面距离是6米.

(1)如图,沿AC方向开山修渠,为了加快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=500m,∠D=50°,那么开挖点E离D多远(精确到0.1m),正好能使A、C、E成一条直线?
小练习
解:要使A、C、E在同一直线上,则∠ABD是△BDE的一个外角. ∴∠BED=∠ABD-∠D=90° ∴DE=BD·cosD=500×0.6428 =321.400≈321.4(m) 答:开挖点E离D为321.4米,正好能使A、C、E成一直线.

(2)如图 ,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1:2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
坝底AD的宽为132.5m,斜坡AB的长为72.7m.
小练习
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
归纳
(1)三边之间的关系
a2+b2=c2(勾股定理);
(2)锐角之间的关系
∠ A+ ∠ B= 90o
(3)边角之间的关系
1.解直角三角形的依据

(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:

1.在△ABC中,∠C=90°,解这个直角三角形.
⑴∠A=60°,斜边上的高CD =;
⑵∠A=60°,a+b=3+.
解:(1)∠B = 90°-∠A = 30°
AC=
2.在Rt△ABC中∠C=90°,AD=2AC=2BD, 且DE⊥AB. (1)求tanB; (2)若DE=1,求CE的长.
CE=5
3.如图,在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,
求:sinB,cosB,tanB的值.
A B C D 解: 过点A作AD⊥BC于D,垂足为D
∵AB=AC=13, AD⊥BC,BC=10
∴BD=CD=5 ∴AD=12 ┓
4.为测量松树AB的高度,一个人站在距松树20米的E处,测得仰角∠ACD=56o,已知人的高度是1.76米,求树高(精确到0.01米).
解:在Rt△ACD中,
tgC=AD/CD,
∴AD=CDtanC=BEtanC
=20×tan56o
=20×1.4826≈29.65(米).
∴AB=AD+BD=29.65+1.76 =31.41(米).
答:树高31.41米.

┓ D 75° 450 A B C 5.如图,在△ABC中,已知AC=8,∠C=75°,∠B= 45°,求△ABC的面积.
8 解:过C作CD⊥AB于D,
∵sinA= cosA=
∵ ∠BDC = 90°
∴S△ABC= ∴CD=AC·sin60°=
AD=AC·cos60°=4

A C 1000米 570米 B 6.我军某部在一次野外训练中,有一辆坦克准备通过一座小山,已知山脚和山顶的水平距离为1000米,山高为580米,如果这辆坦克能够爬30°的斜坡,试问:它能不能通过这座小山?

∴∠A > 30°∴这辆坦克不能通过这座小山.
∵tan 30°= ≈0.577 <58
tanA>tan30°
∴tanA = = 解:∵ BC⊥AC , BC=570米 , AC=1000米
= 0.58
1. 2. AB = 6.18m,AD = 3.63m.
3. 143m. 4. 4 221m.