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人教版八年级下册

18.1:勾股定理(2)

课件 1841KB 2017-12-9 20:33:48 免费 作者:网络收集
18.1勾股定理
(图中每一格代表一平方厘米)
观察左图: (1)正方形P的面积是 平方厘米。
(2)正方形Q的面积是 平方厘米。
(3)正方形R的面积是 平方厘米。
1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2
八年级下册 动手试一试,动脑想一想

R Q P (图中每一格代表一平方厘米)
观察左图: (1)正方形P的面积是 平方厘米。
(2)正方形Q的面积是 平方厘米。
(3)正方形R的面积是 平方厘米。
9 方法二 16 25 (1)你能用直角三角形的边长表上述正方形的面积吗? (2)你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?
SQ=AC2, SP=BC2, SR=AB2
方法一 AC2+BC2=AB2
SQ+SP=SR
把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
(图中每一格代表一平方厘米)

把R看作是小正方形面积加上四个直角三角形的面积。
(图中每一格代表一平方厘米)

做一做: 在下图中用三角尺画出两条直角边分别为5cm、 12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长,并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
52+122=132

勾股定理: 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
在?ABC中,?C=90?
?AC2+BC2=AB2
a b c (a2+b2=c2)
勾 股 弦 …… 八年级下册 勾股定理 a b c
a a a b b b c c c 大正方形的面积可以表示为:
你能通过下图证明勾股定理吗?
a b c 所以: 化简得: 八年级下册 勾股定理-----证明

a b c 你能通过下图证明勾股定理吗?
大正方形的面积可以表示为:
所以: 化简得: 八年级下册 勾股定理 勾股定理-----证明

结论:在直角三角形中,已知两边可以求第三边.
例1 如图,在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
B 24 A C 7 如果将题目变为: 在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢?
24 ∵ Rt△ABC中, ∠C是直角
∴ AC2+BC2=AB2
∴ 八年级下册 勾股定理----理解

1.在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b, ∠C=90°, (1)已知a=3,b=4,则c=______;(2)已知a=6,c=10,则b=_____; (3)已知a=2,b=4,则c=______. 2.已知Rt△ABC中,∠B= 90°,AC=,BC= 则AB=_______, ∠A=________; 3.在平面直角坐标系中,点(-3,-4)与原点之间的 距离是_______,点(3,- 4)与点(2,1)之间的距离是_______.
动脑想一想,看谁反应快!!
5 8 450 5
5. 若正方形的面积为3cm2,则它的对角线长是 . 6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 .
4.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=8,b=15,则c=______.
6 8 17 新知理解----试一试
6,8,10 八年级下册
7、如图,在△ABC中,∠ACB = 90。,CD是高,若AB=13cm,AC = 5cm,求CD的长;
A B C D 提示:先求BC,再求△ABC的面积,再根据 面积求出AB边上的高CD;
∵ ∠C=90° ∴AC2+BC2=AB2
八年级下册 勾股定理---运用
8.△ABC中,周长是24,∠C=90°,且 b=6,则三角形的面积是多少?
A B C a b c 解: ∵周长是24,且b=6
∴a+c=24-6=18
设a=x,则c=18-x
∵ ∠C=90°,
∴a2+b2=c2 ∴x2+62=(18-x)2
解得:x=8 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
a b c 勾股定理: 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
a2+b2=c2 …… 在?ABC中,?C=90?

已知三角形ABC中,AB=10,BC=21,AC=17,求BC边上的高线AD。
A B C D 解:设BD=X,则DC=21-X。
∵AD⊥BC ∴AD2=AB2-BD2=102-X2
AD2=AC2-CD2=172-(21-X)2
解,得X=6 ∴102-X2=172-(21-X)2
∴AD2=102-62=64
∴AD=8
8.△ABC中,周长是 , ∠C=90°,且 c=2,则三角形的面积是多少?
A B C a b c 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用 9.直角三角形中,斜边长是 , 面积为2,则三角形的周长是多少?

如图,在Rt△ABC中?C=90?,AC=BC,且BC=5, 求三角形ABC的面积和底边上的高
如图,在Rt△ABC中?C=90?, ?A=30?,,且AC=3, 求BC的长和三角形ABC的面积

12.如图,△ABC中,∠A=45°, ∠B=30°,BC=8. 求AC的长.
A B C D 8 4 4 4 2 八年级下册 勾股定理---运用
6.如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°, ∠C=45°,AD=1,BC=2,求CD的长.
A B C D E 1 2 450 450 1 2 (1) ∠B=90°, ∠C=45°, BC=2
(2) ∠B=90°, ∠C=45°, 则∠E=45°
∵∠ADE=90°, ∠C=45°, AD=1
∴DE=AD=1 则BE=BC=2 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
10.如图,在四边形ABCD中,∠BAD =900,∠DBC = 900 , AD = 3,AB = 4,BC = 12,求CD和四边形ABCD的面积;
D A B C 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
9.在等腰△ABC中,AB=AC=13cm ,BC=10cm,求△ABC的面积。
A B C D 13 13 10 H ∵ AB=AC, AD⊥BC
作AD⊥BC于 D 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
2、等腰三角形底边上的高为8,周长为32,求这个三角形的面积
8 D A B C 解:设这个三角形为ABC,高为AD,设BD为X,则AB为(16-X),
由勾股定理得: X2+82=(16-X)2
即X2+64=256-32X+X2
∴ X=6 ∴ S?ABC=BC?AD/2=2 ?6 ?8/2=48

2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求(1)BD(2)CD (3)BC
25 或7
13.如图,在△ABC中,AB=AC=5,P为BC边上任意一点.求证:AP2+PB·PC=25.
D P D 八年级下册 勾股定理---运用
1.在长和宽分别是40cm,30cm的文具盒中,能放进一支长为48cm的铅笔吗?
40cm 30cm 分析:根据题意,关键是求对角线的长度。
x 解:设对角线长为xcm
由勾股定理得: 302+402=x2
x2 =2500 解得:x=50 ∵50>48 ∴该文具盒能放进一支长为48cm的铅笔
八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离
A B C 40 90 160 40 分析: AC=90-40=50
BC=160-40=120
在Rt△ABC中, AC2+BC2=AB2
502+1202=AB2
AB=130 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
3.飞机在天空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每时飞行 多少千米?
20秒 4000米 5000米 解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2, 即50002=BC2+40002, 所以BC=3000米。
即飞机的速度为540千米/时。
A B C
1.如图,在水塔O的东北方向处有一抽水站A距O点8千米,在水塔的东南向处有一建筑工地B距O点6千米,在AB间建一条直水管,则水管的长为多少?
o 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00甲先出发,他以6千米/小时的速度向东行走,1时后乙出发,他以5千米/小时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?
东 北 甲 乙 甲走2小时的路程为6×2=12千米
乙走1小时的路程为5×1=5千米
根据勾股定理得: 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
5、某市要建造一图书馆,位置在如图所示的直线AB上选取,该市有两所学校在点C和点D的位置,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=25千米,CA=15千米,DB=10千米,试问:图书馆E应该建在距点A多少千米处,才能使它到两所学校的距离相等?
A C E B D 解:设AE=x,则BE=25-x,
x 由勾股定理得: CE2=AE2+AC2=x2+152 DE2=BE2+DB2=(25-x)2+102
∴ x2+152 =(25-x)2+102 解得 x=10(千米)

8.有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?
x 尺 x2 + 52 = (x+1)2
x = 12 水池 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
例11 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
4、如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,折叠∠CBA,使BC边的点落在AB边上,其中点C落在点E处,求CD的长。
解:在Rt△ABC中,AB2=BC2+AC2=32+42=25 可得AB=5(cm)
由于图形折叠,得BE=BC=3cm,DE⊥AB,CD=DE
设CD=x,则在Rt△ADE中,DE=xcm,DA=(4-x)cm,AE=AB-BE=2cm, 由勾股定理得,x2+22=(4-x)2
解这个方程得 x=1.5(cm)
八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求(1)CF (2)EC.
A B C D E F 8 10 10 6 X 8-X 4 8-X 解:由题意得AD= BC=10CM
∴BF2=AF2-AB2=102-82
在直角三角形EFC中 FC2+EC2=EF2
解,得X=3 ∴BF=6 FC=4
∵AB⊥BC 设EC=X,则EF=8-X
即42+X2=(8-X)2
∴EC=3
我怎么走 会最近呢?
7.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
高 12cm B A 长18cm (π的值取3)
∵ AB2=92+122=81+144=225=
∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.
152
如图,长方体的长为15 cm,宽为 10 cm,高为20 cm,点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?
10 20 A E C B 20 15 10 E F D
如下图:在方格纸中有△ABC,顶点在格点上,请利用余下的地方画一个与之相似的放大三角形,使它们的对应边比都为
3 2 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
2. 一天,小明买了一张底面是边长为260cm正方形,厚30cm的床垫回家。到了家门口,才发现门口只有242cm高,宽100cm。你认为小明能拿进屋吗,为什么?
242 100 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
小丁的妈妈买了一部34英寸(86厘米)的电视机。小丁量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗?
∴售货员没搞错 荧屏对角线大约为86厘米
∵702+502=7400
862=7396 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少?
解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,
∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),
答:蚂蚁需要爬行的最短路径是cm.

葭生池中
今有方池一丈,
葭生其中央,
出水一尺,
引葭赴岸,
适与岸齐。
问:水深、葭长各几何?
X-1 X 1尺 解:可设葭长为x尺,
则水深为(x-1)尺
则有: (x-1)2+52=x2
解得: x=13 所以:葭长13尺,水深12尺。
葭(jiá) 八年级下册 勾股定理 勾股定理---运用
? ? 1.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定
B B 8 O A 2 蛋糕 A C B
例4、在下图中,BC长为3厘米,AB长为4厘米,AF长为12厘米,求正方形CDEF的面积。
AC2=32+42=52
SCDEF=FC2=AF2+AC2=122+52 =132=169厘米2
例5、如图,直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系?
S1+S2=S3 即:两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆的面积。

1、小明从家出发向正北方向走了150米,接着向正东方向走到离家250米远的地方,小明向正东方向走了多远?
2、一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米。 (1)这个梯子的顶端距地面有多高? (2)如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗?

郑凯想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后,发现下端刚好接触地面,你能帮他算出旗杆的高吗?
A B C 5米 (X+1)米 x米
如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少?
20 2 3 2 3 2 3 A B C
已知:在Rt△ABC中,∠C=900, ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,周长为P
(1)填表: (2)如果a+b-c=m, 观察上表猜想
=_______ (用含有m的代数式表示)。
(3)证明(2)中的结论。